Az általános iskolában leginkább az egész, illetve a törtszámokat tanítják. Erre építik rá a középiskolákban a valós számokat. Lépjünk túl ezen a körön és vegyünk fel egy új számkört, a komplex számokat!
A valós számok a klasszikus értelmezés szerint teljesen kitöltik a számegyenest. A komplex számok két részből állnak: egy valós részből, amely megegyezik a valós számokkal (jele: Re = real), valamint egy képzetes résszel (jele: Im = imaginary), ami geometriai értelemben merőleges erre a valós egyenesre. A következőképpen lehet ábrázolni ezeket a számokat:
Im
c = a+bi
Re
A komplex számoknak több alakja is van, ebből a legegyszerűbb az ún. algebrai alak:
c = a+bi, ahol a,b
valós számok és .
Ebből következik, hogy:
Tudom, hogy ez első lépésre elég furcsának tűnik, de szeretném újra megerősíteni: itt túl kell lépnünk a valós számok körén!
A fenti rajzot kiegészítve láthatjuk a komplex szám geometriai ábrázolásának két koordinátáját:
Im
c = a+bi
b
φ
Re
a
A fentiek alapján látható, hogy: a = Re(c) és b = Im(c).
A jó öreg Pitagorasz-tétel alapján látható válik a komplex szám abszolút értéke, azaz a komplex számot ábrázoló nyíl hossza. Ez:
Ebből következik:
Ha a klasszikus trigonometriára gondolunk, akkor:
Általában az első összefüggést szoktuk használni, mely alapján:
Megállapodás szerint ez két esetet eredményezhet:
A komplex számoknak az algebrai alakja mellett létezik egy ún. trigonometrikus alakja is!
Ha x=a+bi és , akkor:
Ha ez még nem lenne elég, akkor mindezek mellett az Euler-formula szerint létezik egy ún. exponenciális alakjuk is:
Tehát összefoglalva:
Komplex szám konjugáltja
Bár a jelenlegi állapotban még nem tűnik fontosnak, de hamarosan fontos lesz a komplex számok konjugáltja, amit a következőképpen értelmezhetünk:
Ha , ahol = az x komplex szám konjugáltja. Geometriai értelemben a kapcsolat az, hogy egymás tükörképei a valós tengelyre nézve!
Im
x
Re
Átszámítás trigonometrikus alakra
Adott egy komplex szám algebrai alakja:
Számítsuk át trigonometriai alakra, tehát:
Im
φ Re
A fenti példában:
Az egyszerű trigonometrikus összefüggésekből is látható, hogy: .
Lássunk pár példát!
1. példa: Ha
Átszámítva:
Tehát: .
2. példa: Ha
Tehát:
3. példa: Ha
Tehát:
4. példa: Ha
Tehát: .
Műveletek komplex számokkal
Az algebrai alak feltétele:
1.) Azonosság algebrai alakkal: Ha
2.) Összeadás algebrai alakkal: (a fenti feltételekkel): .
3.) Kivonás algebrai alakkal: (a fenti feltételekkel): .
A trigonometrikus alak feltétele:
4.) Azonosság trigonometriai alakkal: Ha .
5.) Összeadás trigonometrikus alakkal: (a fenti feltételekkel):
A zárójeleket felbonthatjuk, majd átrendezés után a következő alakot kapjuk:
Itt a következők figyelhetők meg:
, illetve:
6.) Kivonás trigonometrikus alakkal: (a fenti feltételekkel):
A zárójeleket felbonthatjuk, majd átrendezés után a következő alakot kapjuk:
Itt a következők figyelhetők meg:
,illetve:
A fentiekből is látható, hogy az utóbbi két művelet sokkal egyszerűbb az algebrai alakkal!
7.) Szorzás algebrai alakban:
, mivel
8.) Szorzás trigonometriai alakban:
Átcsoportosítva szorozzuk össze a két zárójelben lévő kifejezést!
Most ismét használjuk ki az összefüggést!
Itt csupán sorrend-cserére van szükség…
… ahhoz, hogy a jól ismert addíciós képletek előbukkanjanak. Tehát:
9.) Szorzás exponenciális alakban: az eddigi szorzásokhoz képest ez kifejezetten egyszerű lesz!
Ha
Megint csak a sorrendet cseréljük fel:
Ennyi az egész!
10.) Osztás algebrai alakban: ez már nem lesz olyan könnyű falat!
Ha , akkor:
Most célszerű lesz az egész törtet a nevező konjugáltjával bővíteni, így a következőt kapjuk:
Végezzük el az osztást a két lényeges részben:
Tehát: , valamint:
11.) Osztás trigonometriai alakban: Ha
Ismét bővítsünk a nevező konjugáltjával!
Végezzük el a szükséges szorzásokat!
12.) Osztás exponenciális alakban: Ha
Ez megint sokkal egyszerűbb, mint a trigonometrikus alakkal való osztás!
Példák a szorzásra és osztásra
1.) Algebrai alakkal: Ha
Trigonometrikus alakkal a fenti értékeket használva:
Ráadásul:
Így:
Exponenciális alakkal a fenti értékeket használva:
2.) Ha
Osztás algebrai alakkal:
Osztás trigonometrikus alakkal:
Ha
Osztás exponenciális alakkal: Ha
Hatványozás egész kitevőkkel
(mint a valós számoknál), kivéve: , mert az nem értelmezhető!
Hasonlóképpen: , ahol nZ+
Továbbá: .
Ha x=a+bi alakú, akkor:
A binomiális tétel alapján:
Röviden:
Fontos megjegyezni, hogy:
Tehát megállapíthatjuk, hogy a hatványozás algebrai alakja elég nehézkes!
Nézzük ugyanezt trigonometrikus alakban!
nZ+
Így:
Ez egy újabb binomiális tétel lenne, de itt érdemes alkalmazni a Moivre-képletet, mely szerint:
Végül nézzük ugyanezt exponenciális alakban is!
Ha és nZ+ =>
Felhasznált irodalom:
- Obádovics J. Gyula: Matematika – Műszaki Könyvkiadó, 1980, ISBN: 963 10 2368 0
- SH Atlasz: Matematika – Springer Hungarica, 1993, ISBN 963 7775 60 9